Решение занятия №25 Разнобой


с. 1
Математический кружок 7 класс

Решение занятия №25 Разнобой.



  1. Числа 1, 2, ..., 11 расставляют по кругу и находят все разности между числом и следующим за ним по часовой стрелке. Как сделать это, чтобы произведение всех 11 полученных разностей было положительным?

Например, так: записать числа по часовой стрелке в порядке возрастания, тогда получатся следующие 11 разностей: десять (-1) и одна 10. Произведение этих чисел положительно.

Замечание. Можно было расставить числа в произвольном порядке. Если произведение получилось отрицательным, то нужно числа переписать в обратном порядке. Тогда все 11 разностей изменят знак, значит, и все произведение изменит знак и станет положительным (см. рис.).

  1. На доске 5×5 какие-то 5 клеток закрашены в пять разных цветов. Всегда ли можно остальные клетки доски раскрасить в те же пять цветов так, чтобы в итоге в каждом столбце и каждой строке все клетки были закрашены в разные цвета?

Ответ. Не всегда.

Например, если клетки изначально раскрашены так, как на рисунке, то удовлетворить условие задачи нельзя, так как в первом столбце уже есть все цвета кроме 5, но в оставшуюся нижнюю клетку ставить 5 нельзя, потому что в нижней строке уже есть цвет 5.

  1. а) На клетчатой бумаге отметили 100 клеток. Докажите, что из них можно выбрать 50 так, чтобы среди выбранных клеток не было соседних по стороне.

Доказательство. Раскрасим тетрадный лист в 2 цвета «в шахматном порядке» (так, чтобы никакие 2 клетки одного цвета не граничили по стороне). Так как никакие два цвета не граничат друг с другом, то задачу можно переформулировать так: «Докажите, что из 100, отмеченных на раскрашенном листе, клеток можно выбрать 50 одного цвета». По принципу Дирихле из 100 клеток двух цветов найдется 50 одного цвета, иначе клеток должно быть меньше 100.

б) На шестиугольной решетке отметили 300 шестиугольников. Докажите, что из них можно выбрать 100 так, чтобы ни у каких двух не было общей стороны.



Доказательство. Раскрасим шестиугольники решетки так, чтобы никакие два шестиугольника одного цвета не граничили друг с другом (см. рис.). Аналогично пункту а) задачу можно переформулировать так: «Докажите, что, среди выбранных 300 шестиугольников раскрашенной решетки найдется 100 одного цвета». По принципу Дирихле из 300 шестиугольников трех цветов найдется 100 одного цвета, иначе шестиугольников было бы меньше 300. Это 100 шестиугольников нам и годятся, так как они не граничат друг с другом.

  1. В ряд выложено несколько бусин белого и черного цвета. Первая бусина – белая, а последняя – черная. Докажите, что число пар разноцветных бусин, лежащих рядом, - нечетно.

Доказательство. В ряду не может быть меньше двух бусин. Докажем по индукции, что если в ряду n бусин, то в ряду нечетное число пар разноцветных бусин лежащих рядом.

База. Если всего 2 бусины, первая – белая, вторая (последняя) – черная, то есть всего одна пара. 1 – нечетное число, база доказана.

Переход. Предположим, что среди k бусин нечетное число (2p+1) нужных нам пар. Докажем, что среди k+1 бусин нечетное число нужных нам пар.

Временно заберем из ряда k+1 бусин одну бусину. Осталось k бусин, среди которых, по предположению, 2p+1 пар. Вернем бусину на место.

Если выбранная бусина белая и стоит между двумя черными бусинами, то количество пар увеличится на 2 и станет 2p+3, т.е. останется нечетным. Аналогично, если бусина черная и стоит между двумя белыми.

Если выбранная бусина белая и стоит между бусинами разного цвета, то количество пар не увеличится, т.е. останется (2p+1) нечетным. Аналогично, если черная бусина стоит между черной и белой бусинами.

Таким образом, среди k+1 бусин, исходя из предположения k бусин, нечетное число нужных нам пар. Переход доказан.

База и переход доказаны, значит утверждение индукции доказано. Число пар разноцветных бусин, лежащих рядом, - нечетно.

  1. Прямоугольник тремя прямыми, параллельными сторонам разбит на шесть прямоугольных частей. За один вопрос можно узнать площадь оной из частей. Как за четыре вопроса можно узнать площадь исходного прямоугольника?

Ответ. .

Решение 1. Три прямые разбили наш прямоугольник со сторонами a и b на 6 прямоугольников (см. рис.). Для удобства известные нам величины будем обозначать большими латинскими буквами, неизвестные малыми. За 4 вопроса узнаем площади например 1, 2, 3 и 4 прямоугольников S1, S2, S3 и S4. Для того, чтобы узнать площадь всего прямоугольника, можно узнать площади s5 и s6 прямоугольников 5 и 6.

; .

Таким образом площадь всего прямоугольника:

.

Решение 2. Отличие от решения 1 только в вычислении s5 и s6. Вычислить s5 можно, выяснив, во сколько раз она отличается от S2. , аналогично . Таким образом, площадь и , т.е. площадь всего прямоугольника:

.

Замечание. Для решения задачи достаточно выбрать 4 прямоугольника так, чтобы задействовать все получившиеся части сторон прямоугольника.

  1. К прямой АС восстановлены перпендикуляры AB и CD, причем AB ≠ CD. Назовем точку О хорошей, если АОВ=COD. а) Постройте на плоскости хотя бы одну хорошую точку. б) Постройте еще одну хорошую точку. в) И еще одну :).

а) Пусть O1 точка пересечения прямой BD и AC. Тогда АО1В=CO1D так как это один и тот же угол.

б) Пусть O2 точка пересечения прямой AD и BC. Тогда АО2В=CO2D так как это вертикальные углы.

в) На прямой АВ отложим отрезок АВ’=АВ (см. рис). Пусть О3 точка пересечения прямой В’D и АС. Докажем, что АО3В=CO3D.

Рассмотрим треугольник BО3В’. О3А перпендикулярна ВВ’ по условию, значит О3А – высота треугольника BО3В’. Точка А – середина отрезка ВВ’ по построению, значит О3А – медиана треугольника BО3В’. О3А одновременно высота и медиана треугольника BО3В’, значит треугольник BО3В’ равнобедренный с вершиной в точке О3, а О3А является еще и биссектрисой 3В’, т.е. АО3В=АO3В’.

Известно, что АО3В’=СO3D, так как это вертикальные углы. Значит, АО3В=CO3D, ч.т.д.

  1. Из числа 13100 вычли наибольший его делитель, не равный самому числу. Из полученной разности также вычли наибольший её делитель, не равный ей самой, и т.д., пока не после очередного вычитания не получилась единица. а) Какое число получилось после двух вычитаний? б) Сколько всего вычитаний было произведено?

Ответ: а) 6*1399. б)

Решение. а) Все делители числа 13100 это степени числа 13 и самый большой из них, не равный 13100, это 1399. Значит, после первого вычитания останется число . Далее ясно, что делитель числа не может быть больше его половины. Поэтому самый большой делитель числа 12*1399 равен 6*1399. Значит, после второго вычитания останется число 6*1399.

б) Вообще, если d – самый большой делитель натурального числа n, не равный самому n, то n/d – самый маленький делитель натурального числа n, не равный 1. То есть, чтобы найти самый большой делитель числа n – надо найти самый маленький делитель числа n и разделить на него.

В начале есть число 13100, самый маленький делитель 13, самый большой 1399, после вычитания останется 12*1399.

Потом есть число 12*1399, самый маленький делитель 2, самый большой 6*1399, после вычитания останется 6*1399.

Потом есть число 6*1399, самый маленький делитель 2, самый большой 3*1399, после вычитания останется 3*1399.

Теперь есть число 3*1399, самый маленький делитель 3, самый большой 1399, после вычитания останется 2*1399.

Наконец, есть число 2*1399, самый маленький делитель 2, самый большой 1399, после вычитания останется 1399.

Итого, за 5 вычитаний из 13100 получилось 1399. Аналогично, еще через 5 вычитаний, получится 1398 и так далее. Значит, 1 получится из 13100 за 5*100 = 500 вычитаний.
с. 1

скачать файл

Смотрите также: