Программа дисциплины теория групп Ли Цикл дс направление: 510400


с. 1

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ


"УТВЕРЖДАЮ"

Проректор

__________В.С.Бухмин

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


Теория групп Ли


Цикл ДС

Направление: 510400 - Физика

Специализация: 010457 – Гравитация и теория относительности

Принята на заседании кафедры Теории относительности и гравитации

(протокол № 6 от "5" июня 2009 г.)

Заведующий кафедрой
________________ (А.В. Аминова)


Утверждена Учебно-методической комиссией физического факультета КГУ.

(протокол №___ от "__"__________200__ г.)
Председатель комиссии
____________________ (Д.А. Таюрский)

Рабочая программа дисциплины "Теория групп Ли" предназначена для студентов 3 курса



по направлению: 510400 – Физика

Специализация: 010457 – Гравитация и теория относительности
АВТОР: Даньшин А.Ю., Патрин Е.В.
КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ: В данном курсе лекций излагаются основы теории топологических групп, теории алгебр и групп Ли, а также некоторые приложения теории групп и алгебр Ли в римановой геометрии. На языке теории групп описываются симметрии физических систем, поэтому она занимает важное место во многих разделах теоретической физики. Наличие достаточно высокой симметрии позволяет находить решения в общей теории относительности и космологии.
1. Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение дисциплины "Теория групп Ли". Студенты, завершившие изучение данной дисциплины должны:

  • знать основные понятия из теории топологических групп, теории групп и действия групп Ли на многообразиях, теории алгебр Ли,

  • знать классификацию вещественных алгебр Ли размерности n<=3 (так называемые типы Бианки),

  • уметь вычислять автоморфизмы и строить универсальные накрывающие группы для групп Ли размерности n<=3,

  • уметь вычислять локальные группы изометрических движений.


2. Объем дисциплины и виды учебной работы (в часах)

Форма обучения очная

Количество семестров 1

Форма контроля: 6 семестр экзамен


Ѓц‚
п/п


Виды учебных занятий

Количество часов







6 семестр

1.

Всего часов по дисциплине

106

2.

Самостоятельная работа

38

3.

Аудиторных занятий

68




в том числе: лекций

34




семинарских (или лабораторно-практических) занятий

34


3. Содержание дисциплины.

ТРЕБОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА К ОБЯЗАТЕЛЬНОМУ МИНИМУМУ СОДЕРЖАНИЯ ПРОГРАММЫ

Индекс

Наименование дисциплины и ее основные разделы

Всего часов

ДС.9




73

Примечание: Если дисциплина, устанавливается вузом самостоятельно, то в данной таблице ставится прочерк.

3.2. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

п/п

Название темы и ее содержание

Количество часов






лекции

(лаб.-практ.) занятия

1

Топологические группы. Понятие топологической группы. Подгруппы и фактор - пространства топологической группы. Непрерывный гомоморфизм и изоморфизм. Отделимость в топологических группах и фактор - пространствах. Связные и несвязные топологические группы. Связная компонента единицы. Локальные и глобальные свойства топологических групп. Локальный изоморфизм. Гомотопия и гомотопическая эквивалентность. Гомотопический тип топологического пространства. Стягиваемые пространства. Фундаментальная группа топологического пространства. Односвязные пространства. Старшие гомотопические группы. Накрытия и универсальное накрытие. Накрывающие группы. Универсальная накрывающая группа.

6

6

2

Группы Ли. Понятие группы Ли. Сущность пятой проблемы Гильберта. Иммерсированные и вложенные подгруппы Ли. Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли. Действие группы Ли на многообразии. Теорема об орбитах и стационарных подгруппах. Однородные пространства групп Ли. Связные и односвязные группы Ли. Односвязность группы Ли SU(n). Классические комплексные группы Ли. Односвязность групп Ли SL(n, C) и Sp(2m, C). Гомоморфизмы групп Ли. Эпиморфизмы: и .

8

8

3

Алгебры Ли. Понятие алгебры. Основные типы алгебр (ассоциативные, лиевы и т. д.). Структурные постоянные конечномерной алгебры. Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры. Представление ассоциативной алгебры и алгебры Ли. Присоединенное представление алгебры Ли. Линейная форма и форма Киллинга. Центр алгебры Ли. Теорема Адо. Производный и нижний центральный ряд алгебры Ли. Разрешимые, неразрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Теорема Энгеля. Прямые и полупрямые суммы алгебр Ли. Радикал алгебры Ли. Понятие о полупростых и простых алгебрах Ли. Картановский критерий полупростоты по билинейной форме Киллинга. Теорема Леви – Мальцева – Картана. Теорема о разложении полупростой алгебры Ли в сумму простых. Понятие о классических комплексных и вещественных простых алгебрах Ли. Классификация вещественных алгебр Ли размерности n<=3. Типы Бианки.

8

8

4

Связь между группами Ли и алгебрами Ли. Построение алгебры Ли по группе Ли. Формулировка основных теорем о группах Ли и их связи с алгебрами Ли (теорема существования Картана, теорема о единственности односвязной группы Ли с данной алгеброй Ли, теорема о классификации связных групп Ли). Схема нахождения автоморфизмов алгебры Ли и автоморфизмов односвязной группы Ли. Классификация связных вещественных групп Ли размерности n<=3. Однопараметрические подгруппы групп Ли. Экспоненциальное отображение.

6

6

5

Приложения теории групп и алгебр Ли к римановой геометрии. Векторные поля и локальные однопараметрические группы диффеоморфизмов. Производная Ли. Алгебра Ли векторных полей. Локальное действие локальной группы Ли на многообразии. Три теоремы Ли. Локальные и глобальные группы изометрий. Схема классификации римановых пространств сигнатуры Лоренца по группам локальных изометрических движений.

6

6







Итого часов:

34

34



ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА


  1. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. 3-е изд., исправл., М. Наука, 1973. - 520 с.

  2. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр V. Группы и алгебры Ли. М. Наука, 1982. - 448 с.

  3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М. Наука,1979. - 760 с.

  4. Трофимов В.В. Введение в геометрию многообразий с симметриями. М. Изд-во МГУ, 1989. - 359 с.

  5. Шапуков Б.Н. Задачи по группам Ли и их приложениям. М. НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2002. - 256 с.


ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА


  1. Наймарк М.А. Теория представлений групп. М. Наука, 1976. - 560 с.

  2. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. М. Наука, 1977.- 488 с.

  3. Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее приложения. Т.1. М. Мир, 1980. - 456 с.

  4. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М. Наука, 1966. - 496 с.

  5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. 2-ое изд. М. Наука, 1978. - 344 с.

  6. Винберг Э.Б., Горбацевич В.В., Онищик А.Л. Строение групп Ли и алгебр Ли. //Итоги науки и техники. Совр. проблемы матем. Фундам. направления. Т. 41, 1990. - 260 с.


Приложение к программе дисциплины

Теория групп Ли”.

БИЛЕТЫ К ЭКЗАМЕНАМ
Билет 1.

1. Понятие топологической группы.

2. Построение алгебры Ли по группе Ли.
Билет 2.

1. Подгруппы и фактор - пространства топологической группы.

2. Прямые и полупрямые суммы алгебр Ли.
Билет 3.

1 Отделимость в топологических группах и фактор - пространствах.

2. Представление ассоциативной алгебры и алгебры Ли.
Билет 4.

1. Связные и несвязные топологические группы. Связная компонента единицы.

2. Присоединенное представление алгебры Ли. Линейная форма и форма Киллинга. Центр алгебры Ли.
Билет 5.

1. Локальные и глобальные свойства топологических групп. Локальный изоморфизм.

2. Теорема Адо.
Билет 6.

1. Гомотопия и гомотопическая эквивалентность. Гомотопический тип топологического пространства.

2. Основные типы алгебр (ассоциативные, лиевы и т. д.). Структурные постоянные конечномерной алгебры.
Билет 7.

1. Фундаментальная группа топологического пространства. Односвязные пространства.

2. Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры.
Билет 8.

1. Старшие гомотопические группы.

2. Разрешимые, неразрешимые и нильпотентные алгебры Ли.
Билет 9.

1. Накрытия и универсальное накрытие.

2. Теорема Энгеля.
Билет 10.

1. Накрывающие группы. Универсальная накрывающая группа.

2. Радикал алгебры Ли. Понятие о полупростых и простых алгебрах Ли.
Билет 11.

1. Понятие группы Ли. Сущность пятой проблемы Гильберта.

2. Картановский критерий полупростоты по билинейной форме Киллинга.
Билет 12.

1. Иммерсированные и вложенные подгруппы Ли. Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли.

2. Теорема Леви – Мальцева – Картана.
Билет 13.

1. Действие группы Ли на многообразии. Теорема об орбитах и стационарных подгруппах.

2. Теорема о разложении полупростой алгебры Ли в сумму простых.
Билет 14.

1. Однородные пространства групп Ли.

2. Понятие о классических комплексных и вещественных простых алгебрах Ли.
Билет 15.

1. Связные и односвязные группы Ли.

2. Классификация вещественных алгебр Ли размерности n<=2.
Билет 16.

1. Односвязность группы Ли SU(n).

2. Классификация вещественных алгебр Ли размерности 3.
Билет 17.

1. Классические комплексные группы Ли.

2. Формулировка основных теорем о группах Ли и их связи с алгебрами Ли (теорема существования Картана, теорема о единственности односвязной группы Ли с данной алгеброй Ли, теорема о классификации связных групп Ли).
Билет 18.

1. Односвязность групп Ли SL(n, C) и Sp(2m, C).

2. Схема нахождения автоморфизмов алгебры Ли и автоморфизмов односвязной группы Ли.
Билет 19.

1. Гомоморфизмы групп Ли.

2. Классификация связных вещественных групп Ли размерности n<=3.
Билет 20.

1. Эпиморфизм: .

2. Однопараметрические подгруппы групп Ли. Экспоненциальное отображение.
Билет 21.

1. Эпиморфизм: .

2. Локальное действие локальной группы Ли на многообразии. Три теоремы Ли.
Билет 22.

1. Векторные поля и локальные однопараметрические группы диффеоморфизмов. Производная Ли.

2. Локальные и глобальные группы изометрий.

с. 1

скачать файл

Смотрите также: